Question

若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m，
(Ⅰ)若x²-1比1遠離0，求x的取值范圍；
(Ⅱ)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a³+b³比a²b+ab²遠離2ab；
(Ⅲ)已知函數f(x)的定義域D={x|x≠，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f(x)的解析式，并指出它的基本性質(結論不要求證明)．

Answer 1

(Ⅰ)解：由題意得|x²-1|＞1，x²-1＜-1或x²-1＞1，即x²＜0或x²＞2，
∴x的取值范圍是(-∞，-)∪(，+∞)。
(Ⅱ)證明：當a、b是不相等的正數時，
，
又，
則，
于是，
∴a³+b³比a²b+ab²遠離。
(Ⅲ)解：若|sinx|＞|cosx| ，即sin²x＞cos²x，cos2x＜0，
；
同理，若|cosx|＞|sinx|，則，
于是，函數f(x)的解析式是，
函數f(x)的大致圖象如下：

函數f(x)的最小正周期T=2π，函數f(x)是非奇非偶函數；
當x=2kπ或時，函數f(x)取得最大值1；
當x=2kπ+π或時，函數f(x)取得最小值-1；
函數f(x)在區間上單調遞增；
在區間
上單調遞減。