設橢圓
的左焦點為F, 離心率為
, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若
, 求k的值.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)設
，由
知，
，過點F且與x軸垂直的直線為
，代入橢圓方程有
，解得
，于是
=
，解得
，又
，從而
，
，所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)設點
由F(-1,0)得直線CD的方程為
,代入橢圓方程消去
，整理得
，求解可得
，
，
因為
，
，所以
+
=
=
=
=
，
由已知得=8，解得.
本題第（Ⅰ）問，由于過點F且與x軸垂直的直線為，所以代入橢圓方程，并結合離心率即可求出；第(Ⅱ)問，把直線CD的方程代入橢圓方程，然后由韋達定理，平面向量的坐標運算，就可求出結果.在聯立方程組以及進行平面向量的運算時，注意計算要細心，聯立方程組后，用設而不求的思想.
【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的運算等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查運算能力，以及用方程思想解決問題的能力.
53天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題滿分12分）
設橢圓
的左焦點為F，O為坐標原點，已知橢圓中心關于直線
對稱點恰好落在橢圓的左準線上。
（1）求過O、F并且與橢圓右準線l相切的圓的方程；
|
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科目：高中數學 來源：2014屆安徽省六校教育研究會高三素質測試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
點P是橢圓
外的任意一點，過點P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點。
（1）若點P的坐標為
，求直線
的方程。
（2）設橢圓的左焦點為F，請問：當點P運動時，
是否總是相等？若是，請給出證明。
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