Question

已知函數（），其中．
（1）若曲線與在點處相交且有相同的切線，求的值；
（2）設，若對于任意的，函數在區間上的值恒為負數，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）確定的值，需要確定兩個獨立的條件，依題意，首先在曲線上，代入得關于的方程，再，又得關于的方程，聯立求；（2）多元函數，可采取選取主元法．由題意知，對任意的，在上恒成立，首先采取參變分離法，變形為恒成立，左邊看作自變量為的函數
，，只需求函數的最大值，且．
試題解析：（1），切線斜率，
由題知，即，解得．
（2）由題知對任意的，在上恒成立，
即恒成立．
設，則
，
令，則對任意的，恒有，則恒有
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增。
＝４，
所以，即