Question

將一顆質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b．設復數z=a+bi．
（1）求事件“z-3i為實數”的概率；
（2）求事件“復數z在復平面內的對應點（a，b）滿足（a-2）²+b²≤9”的概率．

Answer 1

分析：由題意可得（a，b）的所有結果共有36種，每種結果等可能出現
（1）若z-3i為實數，則a+bi-3i=a+（b-3）i為實數，b=3．依題意a可取1，2，3，4，5，6，從而可得符合條件的（a，b）的個數，代入概率的計算公式可求
（2）復數z在復平面內的對應點（a，b）滿足（a-2）²+b²≤9，考慮到b的值只能取1，2，3，分別代入b的值，可求對應的a，找出所有符合條件的（a，b）的個數，代入概率的計算公式可求

解答：解：（1）z-3i為實數，即a+bi-3i=a+（b-3）i為實數，
∴b=3．依題意a可取1，2，3，4，5，6，
故出現b=3的概率為p₁=

6

36

=

1

6

，
即事件“z-3i為實數”的概率為

1

6

．
（2）由條件可知，b的值只能取1，2，3．
當b=1時，（a-2）²≤8，即a可取1，2，3，4，
當b=2時，（a-2）²≤5，即a可取1，2，3，4，
當b=3時，（a-2）²≤0，即a可取2．
∴共有9種情況下可使事件發生，又a，b的取值情況共有36種，
所以事件“點（a，b）滿足（a-2）²+b²≤9”的概率為
p₂=

4

36

+

4

36

+

1

36

=

1

4

．

點評：本題以古典概率的計算為載體，綜合考查了分步計數原理，復數的概念，不等式的知識，等可能事件的概率計算，但考查的都是基本概念、基本方法