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已知F1、F2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，M是橢圓上任意一點，若△MF1F2的周長為6，橢圓的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓方程；
（2）若O為坐標原點，求|OM|的最大值與最小值．
分析：（1）由題意設出橢圓標準方程，根據頂點的坐標和離心率得：a=2．c=1，根據a2=b2+c2求出b的值，即求出橢圓標準方程；
（2）根據（1）求出的橢圓標準方程，設出點M的坐標，即求出|OM|的最大值與最小值．
解答：解：（1）由題意得：
2a+2c=6，
c
a
=
1
2
，
解得，a=2．c=1，
故所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．    
（2）由（1）結合橢圓的幾何性質知：
|OM|的最大值為a，最小值b；
∴|OM|的最大值為2，最小值1．
點評：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質、向量數量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a2=b2+c2求出a和b的值，根據橢圓上點的坐標范圍求出求|OM|的最大值與最小值，考查了分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知F1、F2分別為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的左、右焦點，P為橢圓上一點，Q是y軸上的一個動點，若|
PF1
|-|
PF2
|=4，則
PQ
•（
PF1
-
PF2
）=
 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知F1，F2分別為橢圓
x2
3
+
y2
2
=1的左、右焦點，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于直線l1，垂足為D，線段DF2的垂直平分線交l2于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F1作直線交曲線C于兩個不同的點P和Q，設
F1P
=λ
F1Q
，若λ∈[2，3]，求
F2P
•
F2Q
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知F1、F2分別為橢圓
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦點，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則△PF1F2的面積為
9
7
4
9
7
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等于右焦點的橫坐標，其縱坐標等于短半軸長的
2
3
，則橢圓的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知F1，F2分別為雙曲線x2-
y2
4
=1的左、右焦點，P是雙曲線上的動點，過F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則點H的軌跡為（　　）

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