Question

如圖，已知中心在原點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A且斜率為1的直線交橢圓E于A、C兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O與AC垂直的直線交橢圓E于B、D兩點(diǎn)，求證A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），離心率e=

6

3

，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓E的方程；
（2）確定B，C，D的坐標(biāo)，求出過(guò)這三點(diǎn)的圓，驗(yàn)證A滿足方程即可．

解答：（1）解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），因?yàn)殡x心率e=

6

3

，所以a²=3b²，…（2分）
所以橢圓方程為

x2

3b2

+

y2

b2

=1，
又因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），則

9

3b2

+

1

b2

=1，…（4分）
所以b²=4，所以a²=12，屬于橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）證明：直線AC的方程為y=x-2，與橢圓方程聯(lián)立，可得x²-3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，-2）
直線BD的方程為y=-x，與橢圓方程聯(lián)立，可得x²=3，∴x=±

3

，∴B（

3

，-

3

），D（-

3

，

3

）
設(shè)經(jīng)過(guò)B，C，D三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則有

4+2E+F=0 6+ 3 D- 3 E+F=0 6- 3 D+ 3 E+F=0

∴D=-1，E=-1，F(xiàn)=-6，∴圓的方程為x²+y²-x-y-6=0，
∵點(diǎn)A（3，1）也適合，∴A（3，1）在圓上，
∴A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．