Question

已知函數.
（1）若當時，函數的最大值為，求的值；
（2）設（為函數的導函數），若函數在上是單調函數，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）求出導數方程的根，并以是否在區間內進行分類討論，確定函數單調性，從而確定函數在區間上的最大值，從而求出實數的值；（2）解法一是分兩種情況討論，一種是函數是增函數，二是函數是減函數，從而得到或在上恒成立，最終轉化為或來處理，從而求出實數的取值范圍；解法二是分兩種情況討論，一種是函數是增函數，二是函數是減函數，從而得到或在上恒成立，利用，對二次函數的首項系數與的符號進行分類討論，從而求出實數的取值范圍.
（1）由，
可得函數在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，取最大值，
①當，即時，函數在上單調遞減，
，解得；
②當，即時，，
解得，與矛盾，不合舍去；
③當，即時，函數在上單調遞增，
，解得，與矛盾，不合舍去；
綜上得；
（2）解法一：，
，
顯然，對于，不可能恒成立，
函數在上不是單調遞增函數，
若函數在上是單調遞減函數，則對于恒成立，
，解得，
綜上得若函數在上是單調函數，則；
解法二：，
，
令，（）
方程（）的根判別式，
當，即時，在上恒有，
即當時，函數在上是單調遞減；
當，即時，方程（）有兩個不相等的實數根：
，，
，
當時，，當或時，，
即函數在單調遞增，在或上單調遞減，
函數在上不單調，
綜上得若函數在上是單調函數，則.