Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且點P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n為數列{

1

an

}的前n項和，若對?n∈N^*總有Tn＞

1-m

2

成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用點P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上求出S_n=3a_n+1；再根據已知前n項和求通項公式的方法即可數列{a_n}的通項公式；
（2）先利用上面的結論求出數列{

1

an

}的通項公式，再代入數列的求和公式求出T_n，進而求出其最大值（或其最大值的臨界值）；最后再與

1-m

2

比較即可求出結論．

解答：解：（1）∵點P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上．
∴S_n=3a_n+1
當n=1時，a₁=3a₁+1，∴a1=-

1

2

當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-12an=3an-1?

an

an-1

=

3

2

（n≥2）
即數列{a_n}是首項a1=-

1

2

，公比q=

3

2

的等比數列
∴an=a1qn-1=-

1

2

×(

3

2

)n-1．
（2）∵an=-

1

2

×(

3

2

)n-1，
∴

1

an

=-2×(

2

3

)n-1
∴Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=-2[1+(

2

3

)+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]
=-2×

[1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=-6×[1-(

2

3

)n]＞-6
∵對?n∈N^*總有Tn＞

1-m

2

成立
∴必須并且只需

1-m

2

≤-6即m≥13．
∴m的最小值為13．

點評：本題主要考查數列的綜合知識以及數列與不等式相結合問題．解決第二問的關鍵在于把“對?n∈N^*總有Tn＞

1-m

2

成立'轉化為求T_n的最大值（或其最大值的臨界值）問題．