Question

（2011•天津模擬）已知函數f（x）=sinωx-

3

cosωx（ω＞0）的圖象與x軸的兩個相鄰交點的距離等于

π

2

，若將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位得到函數y=g（x）的圖象，則y=g（x）是減函數的區間為（　　）

• A．(

  π

  4

  ，

  π

  3

  )
• B．(-

  π

  4

  ，

  π

  4

  )
• C．(0，

  π

  3

  )
• D．(-

  π

  3

  ，0)

Answer 1

分析：由已知可求出函數f（x）的解析式，進而根據函數圖象的平移變換法則得到函數y=g（x）的解析式，根據正弦函數的性質分析出函數的單調性后，比照四個答案即可得到結論．

解答：解：∵函數f（x）=sinωx-

3

cosωx=2sin（ωx-

π

3

）
又∵函數f（x）=sinωx-

3

cosωx（ω＞0）的圖象與x軸的兩個相鄰交點的距離等于

π

2

=

T

2

故函數的最小正周期T=π，
又∵ω＞0
∴ω=2
故f（x）=2sin（2x-

π

3

）
將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位可得y=g（x）=2sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]=2sin2x的圖象
令

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ，即

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z
故函數y=g（x）的減區間為[

π

4

+kπ，

3π

4

+kπ]，k∈Z
當k=0時，區間[

π

4

，

3π

4

]為函數的一個單調遞減區間
又∵(

π

4

，

π

3

)⊆[

π

4

，

3π

4

]
故選A

點評：本題考查的知識點是函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，兩角和與差的正弦函數，正弦函數的單調性，熟練掌握正弦型函數的圖象性質及變換法則是解答本題的關鍵．