Question

設函數f(x)=

x2+ax+a

ex

，其中常數a∈R，e為自然對數的底數．
（1）若a=2求函數f（x）的圖象在x=-1處的切線的方程；
（2）若函數f（x）的極大值為3，求a的值及f（x）的極小值．

Answer 1

分析：先由求導公式和法則對函數求導，整理可得f′（x）=

-x2+(2-a)x

ex

（1）把a=2代入，求得切線斜率及切點的坐標，代入點斜式化簡得切線方程；
（2）令f′①（x）=0可得臨界點，結合2-a 與0的大小，分三種情況的討論研究函數的單調區間，由單調區間求出函數的極大值和極小值，結合條件求a的值，再求出函數的極小值．

解答：解：由題意得，f′(x)=

(x2+ax+a)′ex-(x2+ax+a)(ex)′

e2x

=

-x2+(2-a)x

ex

，
（1）當a=2時，f′(x)=

-x2

ex

，則f′(-1)=

-1

e-1

=-e，
且f(-1)=

1-2+2

e-1

=e，
在x=-1處的切線的方程為：
y-e=-e（x+1），即ex+y=0．
（2）令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
①當a=2時，f′(x)=

-x2

ex

≤0，
∴函數f（x）在區間（-∞，+∞）上是增函數，f（x）無極值，不合題意；               
②當0＞2-a，即a＞2時，x、f'（x）和f（x）的取值變化情況如下：

∴f（x）的極大值為f（0）=a=3，
f（x）的極小值為f（2-a）=f（-1）=

1-3+3

e-1

=e，
③當0＜2-a，即a＜2時，x、f'（x）和f（x）的取值變化情況如下：

∴f（x）的極大值為f（2-a）=[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=（4-a）e^a-2，
令h（a）=（4-a）e^a-2，
則h′（a）=（4-a）′e^a-2+（4-a）（e^a-2）′=（3-a）e^a-2＞0，
∴h（a）在（-∞，2）上遞增，
∴h（a）＜h（2）=2＜3，不符合題意，
綜上，a=3，f（x）的極小值為f（-1）=e．

點評：本題考查用導數的方法研究函數的單調性、極值，導數的幾何意義和切線方程，解題中滲透了分類討論、方程與函數的思想及轉化的思想，是一道綜合性較強的試題．