Question

已知函數，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如圖，函數f（x）在[-1，1]上的圖象與x軸的交點從左到右分別為M、N，圖象的最高點為P，求與的夾角的余弦．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，然后求函數f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）解法一：通過函數為0，求出M，N的坐標，確定P的位置，求出與，求出與的夾角的余弦．
      解法二：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出與的夾角的余弦．
      解法三：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，在Rt△PAM中，求出，通過二倍角公式求出與的夾角的余弦．
解答：解：（Ⅰ）∵
=（2分）
∵x∈R∴，
∴函數f（x）的最大值和最小值分別為1，-1．（4分）
（Ⅱ）解法1：令得，
∵x∈[-1，1]∴或∴，（6分）
由，且x∈[-1，1]得∴，（8分）
∴，（10分）
∴=．（12分）
解法2：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，
由三角函數的性質知，（6分），（8分）
由余弦定理得（10分）
=．（12分）
解法3：過點P作PA⊥x軸于A，則|PA|=1，
由三角函數的性質知，（6分）（8分）
在Rt△PAM中，（10分）
∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos²∠MPA-1=．（12分）
點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，向量的夾角的求法，可以通過向量的數量積解決，也可以通過三角形解決，考查計算能力，常考題型．