Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

7 -6 4 -3

，向量

ξ

=

6 5

．
（I）求矩陣M的特征值λ₁、λ₂和特征向量

ξ

1和

ξ2

；
（II）求M⁶

ξ

的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為

x=2cosα y=sinα

(α為參數)．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．
（3）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知：a、b、c∈R₊，求證：a²+b²+c²≥

1

3

(a+b+c)2；    
（Ⅱ）某長方體從一個頂點出發的三條棱長之和等于3，求其對角線長的最小值．

Answer 1

分析：（1）（I）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（II）由

ξ

=m

ξ1

+n

ξ2

得

m+3n=6 m+2n=5

，得m，n，再利用m，n的值結合冪的計算公式求出答案；
（2）（I）首先把直線和圓的極坐標方程利用兩角差的正弦函數的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化簡為平面直角坐標系中的直線方程，
（II）利用三角函數的基本關系及 條件中圓的參數方程化簡得到圓的一般式方程，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后即可求出曲線上P到直線l的距離的最大值即可．
（3）（I）根據柯西不等式直接證明即可；
（II）不妨設長方體同一個頂點出發的三條棱長分別等于a、b、c，故有a+b+c=3，再利用（I）中的結論即可求出對角線長長的最小值．

解答：（1）解：（I）M=

7 -6 4 -3

的特征多項式為f(λ)=

.

λ-7 6 -4 λ+3

.

=λ2-4λ+3
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=31，λ₁=2，λ₂=3…（2分）
當λ₁=2，λ₂=31時，得

ξ1

=

1 1

；當λ₂=3時，得

ξ2

=

3 2

…（4分）
（II）由

ξ

=m

ξ1

+n

ξ2

得

m+3n=6 m+2n=5

，得m=3，n=1…（5分）
∴M6

ξ

=M6(3

ξ1

+

ξ2

)=3(

λ

6 1

ξ1

)+

λ

6 2

ξ2

=

2190 1460

…（7分）
（2）解：（Ⅰ）ρcos(θ-

π

4

)=2

2

化簡為ρcosθ+ρsinθ=4，
∴直線l的直角坐標方程為x+y=4；   …（3分）
（Ⅱ）設點P的坐標為（2cosα，sinα），
得P到直線l的距離d=

|2cosα+sinα-4|

2

，…（5分）
即d=

| 5 sin(α+φ)-4|

2

，其中cosφ=

1

5

，sinφ=

2

5

．
當sin（α+φ）=-1時，dmax=2

2

+

10

2

．  …（7分）
（3）解：（Ⅰ）a，b，c∈R₊，根據柯西不等式有：（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a•1+b•1+c•1）²，
即a2+b2+c2≥

1

3

(a+b+c)2，當且a=b=c時等式成立．…（4分）
（Ⅱ）不妨設長方體同一個頂點出發的三條棱長分別等于a、b、c，
故有a+b+c=3，其對角線長l=

a2+b2+c2

≥

1 3 (a+b+c)2

=

3

，
當且僅當a=b=c=1時對角線長取得最小值

3

．…（7分）

點評：本題主要考查來了逆矩陣與投影變換，以及圓的參數方程和直線的參數方程，以及不等式的證明等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．