Question

已知點P(4，4)，圓C：(x－m)²＋y²＝5(m＜3)與橢圓E：(a＞b＞0)有一個公共點A(3，1)，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．

(1)求m的值與橢圓E的方程；

(2)設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)點A代入圓C方程， 　　得(3－m)2＋1＝5． 　　∵m＜3，∴m＝1．圓C：． 　　設直線PF1的斜率為k，則PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0． 　　∵直線PF1與圓C相切，∴．解得． 　　當k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去． 　　當k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為－4，∴c＝4．F1(－4，0)，F2(4，0)．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2． 　　橢圓E的方程為：． 　　(Ⅱ)，設Q(x，y)，， 　　．∵，即， 　　而，∴－18≤6xy≤18． 　　則的取值范圍是[0，36]． 　　的取值范圍是[－6，6]． 　　∴的取值范圍是[－12，0]．