Question

已知函數f(x)＝x³－3ax－1，a≠0.若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，則m的取值范圍是    ．

Answer 1

(－3,1)

試題分析：因為f（x）在x=-1處取得極大值，所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．由（1）中f（x）的單調性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，在x=1處取得極小值f（1）=-3．因為直線y=m與函數y=f（x）的圖象有三個不同的交點，結合f（x）的單調性可知，m的取值范圍是（-3，1）．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及求最值和利用導數研究圖象等問題，屬于中檔題．