Question

某公司生產的A型商品通過租賃柜臺進入某商場銷售．第一年，商場為吸引廠家，決定免收該年管理費，因此，該年A型商品定價為每件70元，年銷售量為12.7萬件．第二年，商場開始對該商品征收比率為m%的管理費（即銷售100元要征收m元），于是該商品每件的定價提高

m

1-0.01m

%，預計年銷售量將減少m萬件．
（Ⅰ）將第二年商場對該商品征收的管理費y（萬元）表示成m的函數，并指出這個函數的定義域；
（Ⅱ）要使第二年商場在此項經營中收取的管理費不少于21萬元，則商場對該商品征收管理費的比率m%的范圍是多少？
（Ⅲ）第二年，商場在所收管理費不少于21萬元的前提下，求使廠家獲得最大銷售金額時的m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：第二年該商品年銷售量為（12.7-m）萬件，銷售價格為：70(1+

m

1-0.01m

%)=

70

1- m 100

，可得年銷售收入為

70

1- m 100

(12.7-m)萬元．則商場該年對該商品征收的總管理費為

70

1- m 100

(12.7-m)m%（萬元），即可得所求函數．由12.7-m＞0及m＞0得其定義域．
（II）由利用y≥21，解出即可；
（III）廠家的銷售收入為g(m)=

7000

100-m

(12.7-m)(3≤m≤10)，利用此函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（12.7-m）萬件，銷售價格為：70(1+

m

1-0.01m

%)=

70

1- m 100

，
∴年銷售收入為

70

1- m 100

(12.7-m)萬元．
則商場該年對該商品征收的總管理費為

70

1- m 100

(12.7-m)m%（萬元）
故所求函數為y=

70

100-m

(12.7-m)•m
由12.7-m＞0及m＞0得其定義域為{m|0＜m＜12.7}，
（Ⅱ）由y≥21得

70

100-m

(12.7-m)m≥21
化簡得m²-13m+30≤0，即（m-3）（m-10）≤0，解得3≤m≤10
故當比率在[3%，10%]內時，商場收取的管理費將不少于21萬元．
（Ⅲ）第二年，當商場收取的管理費不少于21萬元時，廠家的銷售收入為g(m)=

7000

100-m

(12.7-m)(3≤m≤10)，
∵g(m)=

7000

100-m

(12.7-m)=700(10+

873

m-100

)為減函數，
∴g（m）_max=g（3）=700（萬元）
故當比率為3%時，廠家銷售金額最大，且商場所收管理費又不少于21萬元．

點評：正確理解題意和掌握“年銷售收入=銷售量×銷售價格”及“商場該年對該商品征收的總管理費=年銷售收入×m%”、一元二次不等式的解法及反比例函數的單調性等是解題的關鍵．