Question

設分別為橢圓的左、右兩個焦點，若橢圓C上的點A(1,)到F₁，F₂兩點的距離之和等于4.
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過點P（1，）的直線與橢圓交于兩點D、E，若DP=PE，求直線DE的方程;
（3）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，若△OMN面積取得最大，求直線MN的方程.

Answer 1

（1）橢圓C的方程為
（2）4x+4y=5
（3）x=1

（1）橢圓C的焦點在x軸上，
由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2.；
又點A(1,) 在橢圓上，因此得b²=1，于是c²=3；
所以橢圓C的方程為，
（2）∵P在橢圓內，∴直線DE與橢圓相交，
∴設D(x₁,y₁),E(x₂,y₂)，代入橢圓C的方程得
x₁²+4y₁²-4="0," x₂²+4y₂²-4=0,相減得2(x₁-x₂)+4×2×(y₁-y₂)=0,∴斜率為k=-1
∴DE方程為y-1= -1(x-),即4x+4y=5;
（3）直線MN不與y軸垂直，∴設MN方程為my=x-1，代入橢圓C的方程得
（m²+4)y²+2my-3="0," 設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),則y₁+y₂=-, y₁y₂=-,且△>0成立.
又S_△OMN=|y₁-y₂|=×=，設t=≥,則
S_△OMN=,(t+)′=1-t^-2>0對t≥恒成立，∴t=時t+取得最小，S_△OMN最大，
此時m=0,∴MN方程為x=1