Question

函數f(x)的定義域為D，如果存在x₀∈D，使f(x₀)＝x₀，則稱點(x₀，x₀)為函數f(x)圖象上的不動點．

(1)試證明：若定義在R上的奇函數f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個．

(2)若函數f(x)＝的圖象上有兩個關于直線x＋y＝3對稱的不動點，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)．又因為x∈R，令x＝0，所以f(0)＝0． 　　所以(0，0)是奇函數f(x)的一個不動點．設c≠0，(c，c)是f(x)的一個不動點，f(c)＝c．由于f(－c)＝－f(c)＝－c，所以(－c，－c)也是f(x)的一個不動點．且－c≠c，即奇函數f(x)的非零不動點如果存在，則必成對．又因為f(x)只有有限個不動點，所以不動點數目是奇數個． 　　(2)設點(x0，x0)是f(x)＝圖象上的一個不動點，則(x0，x0)關于直線x＋y＝3的對稱點(3－x0，3－x0)也是f(x)的不動點，即x0，3－x0是方程x＝的兩個根． 　　整理得，x2＋(a－2)x－4＝0，由韋達定理得，－(a－2)＝x0＋(3－x0)，a＝－1故f(x)＝．