Question

過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心O與棱AB，AD，AA₁所在直線都成等角的平面個數是（　　）

A．1

B．2

C．4

D．8

Answer 1

分析：根據正方體的性質結合直線與平面所成角的定義與性質，證出平面A₁BD、平面AD₁C、平面AD₁B₁和平面AB₁C都與棱AB、AD、AA₁所在直線成等角．因此分別經過O作上述平面的平行平面，得到的平面都與棱AB、AD、AA₁所在直線成等角，由此得到答案．

解答：解：根據兩個平行的平面與同一條直線所成角相等，可先找出與棱AB、AD、AA₁所在直線都成等角的平面，
再過正方體的中心O作該平面的平行平面，就可得到滿足條件的平面．
①連結A₁B、A₁D、BD，可得三棱錐A-A₁BD是正三棱錐，
所以平面A₁BD與棱AB、AD、AA₁所在直線成等角；
②連結AD₁、AC、CD₁，由于線段A₁D的中點在平面AD₁C內，所以A₁、D到平面AD₁C的距離相等．
根據直線與平面所成角的定義與性質，得到AD、AA₁所在直線與平面AD₁C的所成角相等．
同理得到AB、AD所在直線與平面AD₁C的所成角相等，由此得到平面AD₁C與棱AB、AD、AA₁所在直線成等角；
類似地得到平面AD₁B₁和平面AB₁C都是與棱AB、AD、AA₁所在直線成等角的平面．
綜上所述，經過正方體的中心O，分別作平面A₁BD、平面AD₁C、平面AD₁B₁和平面AB₁C的平行平面，得到的平面都與棱AB、AD、AA₁所在直線成等角，得到4個滿足條件的平面．
故選：C

點評：本題給出正方體，求經過它的中心作與各棱都成等角的平面的個數．著重考查了正方體的性質結合直線與平面所成角的定義與性質等知識，屬于中檔題．