Question

己知函數f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-1，且給定條件P：x＜

π

4

或x＞

π

2

，
（1）求￢P的條件下，求f（x）的最值；
（2）若條件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件P：x＜

π

4

或x＞

π

2

，可得^?P：

π

4

≤x≤

π

2

，將f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-1化為：f（x）=4sin（2x-

π

3

）+1，

π

4

≤x≤

π

2

，從而可求得f（x）的最值；
（2）由：-2＜f（x）-m＜2，可得：m-2＜f（x）＜2+m，?p是q的充分條件，則

m-2≤3 m+2≥5

，從而可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-1
=4×

1-cos( π 2 +2x)

2

-2

3

cos2x-1
=2sin2x-2

3

cos2x+1
=4sin（2x-

π

3

）+1；
∵條件P：x＜

π

4

或x＞

π

2

，
∴^?P：

π

4

≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴3≤4sin（2x-

π

3

）+1≤5．
∴f（x）的最大值為為5，f（x）的最小值為3；
（2）∵條件q：-2＜f（x）-m＜2，
∴m-2＜f（x）＜2+m，
又，?p是q的充分條件，而?p條件下，3≤f（x）=4sin（2x-

π

3

）+1≤5，
∴[3，5]⊆（m-2，m+2），
∴

m-2＜3 m+2＞5

解得：3＜m＜5．

點評：本題考查正弦函數的定義域和值域，著重考查三角函數的化簡求值與必要條件、充分條件與充要條件的判斷，難點在于（2）的理解與應用，屬于難題．