Question

設集合M={1，2，3，4，5，6}，對于a_i，b_i∈M，記ei=

bi

ai

且a_i＜b_i，由所有ei組成的集合設為A={e₁，e₂，…e_k}．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）設集合B={e_i′|e_i′=

1

ei

，e_i∈A}，對任意e_i∈A，e_J′∈B，試求

i≠j

ei-e′j；
（Ⅲ）設e_i∈A，e_J′∈B，試求e_i+e_j′∈Z的概率．

Answer 1

分析：（I）由a_i，b_i∈M，ei=

bi

ai

且a_i＜b_i，且集合M已知，將ei列舉出來；
（II）列舉出集合A來，進而再列舉出集合B來，代入

i≠j

ei-e′j求解；
（III）將e_i+e_j′列舉出來求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，a_i，b_i∈M，a_i＜b_i，首先考慮M中的二元子集有{1，2}，{1，3，}，，{5，6}，共15個，
即C₆²=15個．
又a_i＜b_i，滿足

ai

bi

=

aj

bj

的二元子集有：{1，2}，{2，4}，{3，6}，
此時

ai

bi

=

1

2

，{1，3}，{2，6}，
此時

ai

bi

=

1

3

，{2，3}，{4，6}，
此時

ai

bi

=

2

3

，共7個二元子集．
故集合A中的元素個數k=15-7+3=11．（4分）
（Ⅱ）列舉A={

1

2

，

1

3

，

1

4

，

1

5

，

1

6

，

2

3

，

2

5

，

3

4

，

3

5

，

4

5

，

5

6

}B={2，3，4，5，6，

3

2

，

5

2

，

4

3

，

5

3

，

5

4

，

6

5

}

i≠j

ei•e′j=

11

i=1，j=1

ei•e′j-

11

i=j=1

ei•e′j
=

11

i=1

ei

11

j=1

e′j-11=

11

2

•

589

20

-11=

6039

40

．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）列舉符合題意的有：

1

2

+

3

2

=2，

1

2

+

5

2

=3，

1

3

+

5

3

=2，

2

3

+

4

3

=2，

3

4

+

5

4

=2，

4

5

+

6

5

=2，共6對．
所求概率為：p=

6

121

．（13分）

點評：本題主要考查列舉法求解有關問題．