Question

已知函數f（x）=alnx+2x+3（a∈R）
（1）若函數f（x）在x=2處取得極值，求實數a的值；
（Ⅱ）若a=1，設g（x）=f（x）+kx，且不等式g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）在（I）的條件下，將函數f（x）的圖象關于y軸對稱得到函數φ（x）的圖象，再將函數φ（x）的圖象向右平移3個單位向下平移4個單位得到函數w（x）的圖象，試確定函數w（x）的單調性并根據單調性證明ln[2.3.4…（n+1））]²≤n（n+1）（n∈N，n＞l）．

Answer 1

分析：（I）若函數f（x）在x=2處取得極值，則當x=2，f′（x）=0，由此可以構造一個關于a的方程，解方程即可求出滿足條件的實數a的值；
（Ⅱ）若a=1，根據g（x）=f（x）+kx，我們可以求出函數g（x）的解析式，又由不等式g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，我們可以將問題轉化為一個函數恒成立問題，進而求出實數k的取值范圍；
（Ⅲ）根據（I）中a值，我們求出函數f（x）的解析式，進而根據將函數f（x）的圖象關于y軸對稱得到函數φ（x）的圖象，再將函數φ（x）的圖象向右平移3個單位向下平移4個單位得到函數w（x）的圖象，求出函數w（x）的解析式，進而利用導數法證明出函數w（x）的單調性后，即可得到ln[2.3.4…（n+1））]²≤n（n+1）．

解答：解：（I）∵函數的定義域為（0，+∞），由f（x）=alnx+2x+3（a∈R）
∴f′（x）=

a

x

+2
又∵函數f（x）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=

a

2

+2=0
解得a=-4
（II）g（x）=f（x）+kx=lnx+2x+3+kx=lnx+（k+2）x+3
∴g′（x）=

1

x

+k+2≥0在X∈（0，2）上恒成立，
即k≥-2-

1

x

又0＜x＜2，
∴-2-

1

x

＜-

5

2

∴k≥-

5

2

即滿足條件的實數k的取值范圍為[-

5

2

，+∞）
（III）∵f（x）=-4lnx+2x+3
∴φ（x）=-4ln（-x）-2x+3
∴w（x）=-4ln（3-x）-2x+5
則w′（x）=

4

x

-2
∵當x∈（0，

1

2

）時，w′（x）＞0，當x∈（

1

2

，+∞）時，w′（x）＜0，
∴w（x）=-4ln（3-x）-2x+5在區間（0，

1

2

）上單調遞增，在區間（

1

2

，+∞）上單調遞減
∴n∈N，n＞l時，-4ln（3-n）-2n+5≤w（2）=1
∴ln（n+1）≤n
即ln2≤1，ln3≤2，…，ln（n+1）≤n
∴ln2+ln3+…+ln（n+1）≤1+2+…+n
∴ln[2.3.4…（n+1）]≤

n(n+1)

2

∴2ln[2.3.4…（n+1）]≤n（n+1）
即ln[2.3.4…（n+1））]²≤n（n+1）（n∈N，n＞l）．

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，函數的圖象與圖象變化，函數的單調性與導數的關系，其中（I）的切入點是f′（2）=0，（2）的線入點是g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，（3）的切入點是函數w（x）的單調性并根據單調性．