Question

已知函數，.
（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（2）當時，若對，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）設，在（1）的條件下，證明當時，對任意兩個不相等的正數、，有.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求導，利用題中條件得到，從而求出實數的值；（2）解法一是構造新函數，問題轉化為來處理，求出導數的根，對與區間的相對位置進行分類討論，以確定函數的單調性與最值，從而解決題中的問題；解法二是利用參數分離法將問題轉化為，從而將問題轉化為來處理，而將視為點與點連線的斜率，然后利用圖象確定斜率的最小值，從而求解相應問題；（3）證法一是利用基本不等式證明和，再將三個同向不等式相加即可得到問題的證明；證法二是利用作差法結合基本不等式得到進而得到問題的證明.
試題解析：（1），由曲線在點處的切線平行于軸得
，；
（2）解法一：當時，，函數在上是增函數，有，------6分
當時，函數在上遞增，在上遞減，
對，恒成立，只需，即；
當時，函數在上遞減，對，恒成立，只需，
而，不合題意，
綜上得對，恒成立，；
解法二：由且可得，

由于表示兩點、的連線斜率，
由圖象可知在單調遞減，
故當，，
，即；
（3）證法一：由，
得
，
，
由得，①
又，
，②
，，
，，③
由①、②、③得
；
即；
證法二：由



、是兩個不相等的正數，
，，
，又，，
，即