Question

已知函數f（x）=

1 4 x+1，x≤1 lnx，x＞1

，則方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根時，實數a的取值范圍是（　　）（注：e為自然對數的底數）

• A、（0，

  1

  e

  ）
• B、[

  1

  4

  ，

  1

  e

  ]
• C、（0，

  1

  4

  ）
• D、[

  1

  4

  ，e]

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．

解答：解：∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實數根，
∴y=f（x）與y=ax有2個交點，
又∵a表示直線y=ax的斜率，
∴y′=

1

x

，
設切點為（x₀，y₀），k=

1

x0

，
∴切線方程為y-y₀=

1

x0

（x-x₀），
而切線過原點，∴y₀=1，x₀=e，k=

1

e

，
∴直線l₁的斜率為

1

e

，
又∵直線l₂與y=

1

4

x+1平行，
∴直線l₂的斜率為

1

4

，
∴實數a的取值范圍是[

1

4

，

1

e

）．
故選：B．

點評：本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，解題時應結合圖象，以及函數與方程的關系，進行解答，是易錯題．