Question

已知f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在區間[0，1]內有最大值-5，求a的值及函數表達式f（x）．

Answer 1

分析：先將二次函數配方得：-4(x-

a

2

)2-4a，下面對對稱軸與所給區間的位置關系進行討論，對每一種情況求出相應的最大值，再利用題中條件：“有最大值-5”得方程即可求得a值，從而進一步求得函數表達式f（x）．

解答：解∵f（x）=-4(x-

a

2

)2-4a，此拋物線頂點為(

a

2

，-4a)．
當

a

2

≥1，即a≥2時，f（x）取最大值-4-a²．令-4-a²=-5，得a²=1，a=±1＜2（舍去）．
當0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2時，x=

a

2

時，f（x）取最大值為-4a，令-4a=-5，得a=

5

4

∈（0，2）．
當

a

2

≤0，即a≤0時，f（x）在[0，1]內遞減，∴x=0時，f（x）取最大值為-4a-a²，
令-4a-a²=-5，得a2+4a²-5=0，解得a=-5，或a=1，其中-5∈（-∞，0]．
綜上所述，a=

5

4

或a=-5時，f（x）在[0，1]內有最大值-5．
∴f（x）=-4x²+5x-

25

16

或f（x）=-4x²-20x-5．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、二次函數的性質、函數的最值及其幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．