Question

設函數f(x)＝x³＋x²＋(m²－1)x，(x∈R，)其中m＞0

(1)當m＝1時，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程

(2)求函數的單調區間與極值；

(3)已知函數f(x)有三個互不相同的零點0，x₁，x₂，且x₁＜x₂．若對任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：設函數(Ⅰ)當曲線處的切線方程(Ⅱ)求函數的單調區間與極值；(Ⅲ)已知函數有三個互不相同的零點0，，且．若對任意的，恒成立，求m的取值范圍． 　　解析：當所以曲線處的切線斜率為1．又，所以曲線處的切線方程為．　2 　　(2)解析，令，得到 　　因為當x變化時，的變化情況如下表：　4 　　f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)內減函數，在(1－m，1＋m)內增函數． 　　函數在處取得極大值，且＝　5 　　函數在處取得極小值，且＝　6 　　(3)解析：由題設， 　　所以方程＝0由兩個相異的實根，故，且，解得　8 　　因為 　　若，而，不合題意　9 　　若則對任意的有　10 　　則又，所以函數在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是，解得 　　綜上，m的取值范圍是　12