Question

已知函f（x）=1-2a^x-a^2x（a＞1）
（1）求函f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]時，函f（x）的最小值-7，求a的值和函f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先進行換元，還原以后寫出新變量t的取值范圍，則函數變化為關于t的二次函數，問題轉化為二次函數的單調性和值域，根據二次函數的性質，得到結果．
（2）根據所給的x的范圍，寫出t的范圍，根據二次函數的性質，寫出函數在定義域上的最值，根據最小值的結果，做出a的值，進而得到函數的最大值．

解答：解：設a^x=t＞0
∴y=-t²-2t+1=-（t+1）²+2
（1）∵t=-1∉（1，+∞）
∴y=-t²-2t+1在（0，+∞）上是減函數
∴y＜1所以值域為（-∞，1）

（2）∵x∈[-2，1]a＞1
∴t∈[

1

a2

，a]由t=-1∉[

1

a2

，a]
∴y=-t²-2t+1在[

1

a2

，a]上是減函數-a2-2a+1=-7
∴a=2或a=-4（不合題意舍去）
當t=

1

a2

=

1

4

時y有最大值，
即y_max=-（

1

4

）²-2×

1

4

+1=

7

16

點評：本題考查函數的最值，考查二次函數的性質，考查指數函數的定義域，是一個綜合題目，這種題目可以作為壓軸題目的一部分．