Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極值，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時在上沒有極值點，當(dāng)時，在上有一個極值點（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）顯然函數(shù)的定義域為.
因為，所以，
當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，
∴在上沒有極值點；                                             ……3分
當(dāng) 時，由得，由得，
∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．
∴當(dāng)時在上沒有極值點，當(dāng)時在上有一個極值點.……6分
（Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，由（Ⅰ）結(jié)論知，
∴，                                     ……8分
令，所以，
令可得在上遞減，令可得在上遞增，  ……10分
∴，即.                                   ……12分
考點：本小題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值最值和恒成立問題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和分類討論思想的應(yīng)用以及運算求解能力.
點評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的有力工具，常常用來解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題.對于題目條件較復(fù)雜，設(shè)問較多的題目審題時，應(yīng)該細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)，將題目條件條目化，一一分析，細(xì)心推敲.對于設(shè)問較多的題目，一般前面的問題較簡單，問題難度階梯式上升，先由條件將前面的問題正確解答，然后將前面問題的結(jié)論作為后面問題解答的條件，注意問題之間的相互聯(lián)系，使問題化難為易，層層解決.