Question

設是定義在上的函數，若存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數，為峰點，包含峰點的區間為含峰區間.　　對任意的上的單峰函數，下面研究縮短其含峰區間長度的方法.
（1）證明：對任意的，，若，則為含峰區間；若，則為含峰區間；
（2）對給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區間的長度不大于；

Answer 1

證明見解析

(1)證明:設為的峰點,則由單峰函數定義可知, 在上單調遞增, 在上單調遞減,
當時,假設,則<,從而這與矛盾,所以,即為含峰區間.
當時,假設,則,從而這與矛盾,所以,即為含峰區間………………………….(7分)
（2）證明：由(1)的結論可知:
當時, 含峰區間的長度為；
當時, 含峰區間的長度為；
對于上述兩種情況，由題意得              ①
由①得即，
又因為，所以                    ②
將②代入①得                   ③
由①和③解得
所以這時含峰區間的長度，
即存在使得所確定的含峰區間的長度不大于