Question

（2005•上海模擬）設數列{a_n}、{b_n}均為等差數列，且公差均不為0，

lim

n→∞

an

bn

=3，則

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

n•a3n

=

1

18

．

Answer 1

分析：設出等差數列{a_n}、{b_n}的公差分別為d₁，d₂根據等差數列的通項公式再結合

lim

n→∞

an

bn

=3可得出

d1

d2

=3再根據等差數列的前n項和公式求出

b1b2+…+bn

na3n

=

b1- 1 2 d2  n +  1 2 d2

a1-d1 n + 3d1

再根據n→∞時

1

n

→0即可求出

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

n•a3n

的值．

解答：解：設等差數列{a_n}、{b_n}的公差分別為d₁，d₂則a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂
∵

lim

n→∞

an

bn

=3
∴

lim

n→∞

a1-d1 n - d1

b1-d2 n -d2

=3
∴

d1

d2

=3
∵

b1b2+…+bn

na3n

=

nb1+ 1 2 n(n-1)d2

n[a1+(3n-1)d1]

=

b1- 1 2 d2  n +  1 2 d2

a1-d1 n + 3d1

∴

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

n•a3n

=

lim

n→∞

b1- 1 2 d2  n +  1 2 d2

a1-d1 n + 3d1

=

d2

6d1

=

1

18

故答案為

1

18

點評：本題主要考查了數列的極限．解題的關鍵是要先將等差數列{a_n}、{b_n}的公差分別設為d₁，d₂再根據

lim

n→∞

an

bn

=3可得出d₁，d₂的關系然后根據等差數列的求和公式和通項公式求出

b1b2+…+bn

na3n

的表達式后分子分母同時除以n²利用n→∞時

1

n

→0求解．