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對于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).

（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對任意，都有，且；又數(shù)列滿足：.

求證：(1)是數(shù)列的母函數(shù)；

(2)求數(shù)列的前項和.

（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項和為，求證：.

 

【答案】

（Ⅰ）(1) 由題知，，是數(shù)列的母函數(shù)

(2) （Ⅱ），，從而是以為首項，為公比的等比數(shù)列

又故當時，有

，化簡得結論

【解析】

試題分析：（Ⅰ）(1)由題知，且

.

是數(shù)列的母函數(shù)；

(2) 由(1) 知：是首項和公差均為的等差數(shù)列，故.

           ①

      ②

①-②得：.

.

（Ⅱ）由題知：，. .

從而是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

.

又

故當時，有：

.

考點：信息題及數(shù)列求和

點評：求解本題首先要正確理解所給信息母函數(shù)的實質，將其性質代入相應的函數(shù)式中推理；第一問的數(shù)列求和用到了錯位相減法，這種方法是數(shù)列求和題常用到的方法，其適用于通項公式為關于n的一次函數(shù)式與指數(shù)式的乘積形式的數(shù)列

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于無窮數(shù)列{xn}和函數(shù)f（x），若xn+1=f（xn）（n∈N+），則稱f（x）是數(shù)列{xn}的母函數(shù)．
（Ⅰ）定義在R上的函數(shù)g（x）滿足：對任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(
1
2
)=1；又數(shù)列{an}滿足：an=g(
1
2n
)．
求證：（1）f（x）=x+2是數(shù)列{2nan}的母函數(shù)；
（2）求數(shù)列{an}的前項n和Sn．
（Ⅱ）已知f(x)=
2012x+2
x+2013
是數(shù)列{bn}的母函數(shù)，且b1=2．若數(shù)列{
bn-1
bn+2
}的前n項和為Tn，求證：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).

（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對任意，都有，且；又數(shù)列滿足：.

(1) 求證：是數(shù)列的母函數(shù)；

(2)求數(shù)列的前項和.

（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項和為，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).

（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對任意，都有，且；又數(shù)列滿足：.

(1)  求證：是數(shù)列的母函數(shù)；

(2)求數(shù)列的前項和.

（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項和為，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).

（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對任意，都有，且；又數(shù)列滿足：.

(1)  求證：是數(shù)列的母函數(shù)；

(2)求數(shù)列的前項和.

（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項和為，求證：.

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