Question

如果數列滿足：且，則稱數列為階“歸化數列”．
（1）若某4階“歸化數列”是等比數列，寫出該數列的各項；
（2）若某11階“歸化數列”是等差數列，求該數列的通項公式；
（3）若為n階“歸化數列”，求證：．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）證明見解析.

試題分析：（1）等比數列是4階“歸化數列”，則有，這樣，于是，從而，，以后各項依次可寫出；（2）等差數列是11階“歸化數列”，則，，這樣有，知當時，，當時，，由此可得的通項公式分別為或；（3）對階“歸化數列”，從已知上我們只能知道在中有正有負，因此為了求，我們可以設是正的，是負的，這樣，，
證畢．
（1）設成公比為的等比數列，顯然，則由，
得，解得，由得，解得，
所以數列或為所求四階“歸化數列”；           4分
（2）設等差數列的公差為，由，
所以，所以，即，               6分
當時，與歸化數列的條件相矛盾，
當時，由，所以，
所以                   8分
當時，由，所以，
所以（n∈N^*，n≤11），
所以（n∈N^*，n≤11），                   10分
（3）由已知可知，必有a_i>0，也必有a_j<0(i，j∈{1，2， ，n，且i≠j)．
設為諸a_i中所有大于0的數，為諸a_i中所有小于0的數．
由已知得X=++ +=，Y= + + +=－．
所以．     16分項和公式，不等式的放縮法．