Question

如圖，已知△OFP的面積為m，且=1．
（I）若，求向量與的夾角θ的取值范圍；
（II）設，且．若以O為中心，F為焦點的橢圓經過點P，當取得最小值時，求此橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△OFP的面積為m，設向量與的夾角為θ，因為=m，×=1，
∴•cosθ=1，可得tanθ=2m，進而可得答案．
（2）以O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系，設=c，P點坐標為（x，y），所以=m
••|y|=，即．因為=（c，0），=（x-c，y），•=1
所以
所以可得==，
設，判斷知f（c）在[2，+∞）上是增函數．
所以當c=2時，f（c）為最小，從而為最小，此時P（）．
最終得到答案．
解答：解：（I）∵△OFP的面積為m，設向量與的夾角為θ．
=m ①
∵×=1，∴•cosθ=1 ②
由①、②得：tanθ=2m
∵，∴，∴
即向量與的夾角θ的取值范圍為
（II）如圖，以O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系
設=c，P點坐標為（x，y）∵=m
∴••|y|=，∴
∵=（c，0），=（x-c，y），•=1
∴
∴==
設，當c≥2時，任取c₂＞c₁≥2
有
當c₂＞c₁≥2時，
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函數
∴當c=2時，f（c）為最小，從而為最小，此時P（）
設橢圓的方程為，則∴a²=10，b²=6
故橢圓的方程為．
點評：本題主要考查向量的數量積運算和橢圓的標準方程的求法．屬難題．