Question

已知f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），如果對任意的x∈[

1

3

，2]，都有|f（x）|≤1成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：當0＜a＜1時，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上單調遞減；當a＞1時，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上單調遞增；結合題意|f（x）|≤1即可求得a的取值范圍．

解答：解：依題意，當0＜a＜1時，f（x）=log_ax在[

1

3

，2]上單調遞減，
又loga

1

3

＞0，log_a2＜0，|f（x）|≤1，
∴

loga 1 3 ≤1 -loga2≤1

，解得0＜a≤

1

3

；
當a＞1時，同理可得

-loga 1 3 ≤1 loga2≤1

，解得a≥3．
綜上所述，a的取值范圍為（0，

1

3

]∪[3，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想，突出對數函數單調性的考查應用，屬于中檔題．