Question

如圖：已知橢圓A，B，C是長軸長為4的橢圓上三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓的中心O，且

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）如果橢圓上兩點P，Q使得直線CP，CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實數λ使

PQ

=λ

AB

？請給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程，根據長軸求得a，點A是長軸的一個頂點可求得A的坐標．根據

AC

•

BC

=0 ， |

BC

|=2|

AC

|判斷△AOC是等腰直角三角形，進而求得C的坐標代入橢圓的方程求得b，最后可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設直線PC的方程與橢圓方程聯立，消元后根據△＞0判斷k的范圍．設點P（x₁，y₁）由韋達定理可求得x₁和y₁關于k的表達式，直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形推斷直線CP、CQ的斜率互為相反數，進而得到k的范圍，同樣的設點Q（x₂，y₂），根據韋達定理求得x₂和y₂關于k的表達式，根據橢圓是中心對稱圖形求得點B的坐標，根據

PQ

和

AB

關系得證．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓的長軸長為4，
∴a=2，
∵點A是長軸的一個頂點，
∴A（2，0），
∵

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|．
∴△AOC是等腰直角三角形，從而C（1，1），
代入橢圓方程得

1

4

+

1

b2

=1?b2=

4

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．

（Ⅱ）設直線l_PC：y=kx+1-k（k≠0）
與橢圓方程

x2

4

+

3y2

4

=1聯立得到（3k²+1）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-4=0
則△=[6k（1-k）]²-4（3k²+1）[3（k-1）²-4]=4（3k+1）²＞0從而k≠-

1

3

且k≠0
設點P（x₁，y₁），而C（1，1），由韋達定理知1+x1=

6k(k-1)

3k2+1

?x1=

3k2-6k-1

3k2+1

代回l_PC：y=kx+1-k得到y1=

-3k2-2k+1

3k2+1

∵直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形
∴直線CP、CQ的斜率互為相反數，即k≠-

1

3

， k≠

1

3

且k≠0
故設點Q（x₂，y₂），同理可知x2=

3k2+6k-1

3k2+1

，y2=

-3k2+2k+1

3k2+1

所以

PQ

=(

12k

3k2+1

，

4k

3k2+1

)
∵橢圓是中心對稱圖形
∴B（-1，-1），

AB

=(-3，-1)
故

PQ

=-

4k

3k2+1

AB

，即總存在實數λ使

PQ

=λ

AB

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和平面向量的知識．能考查學生綜合運用所學知識的能力．