Question

已知M（-3，0）﹑N（3，0），P為坐標平面上的動點，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P點的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線？
（2）若m=-

5

9

，P點的軌跡為曲線C，過點Q（2，0）斜率為k₁的直線?₁與曲線C交于不同的兩點A﹑B，AB中點為R，直線OR（O為坐標原點）的斜率為k₂，求證k₁k₂為定值；
（3）在（2）的條件下，設

QB

=λ

AQ

，且λ∈[2，3]，求?₁在y軸上的截距的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）根據斜率公式得出

y

x+3

•

y

x-3

=m，然后分情況討論曲線類型；
（2）首先根據（1）求出曲線方程，然后聯立直線方程和曲線方程并利用韋達定理得出y₁+y₂，y₁y2，從而求得R的坐標，進而得出k₁k₂的值．
（3）根據

BQ

=λ

QA

得y₂=-λy₁然后代入（2）中①②式，從而得出

1

λ

-2+λ=

16t2

5t2+9

，然后根據

1

λ

-2+λ在λ∈[2，3]上單調遞增調得出

1

2

≤

1

λ

-2+λ≤

4

3

，

3

4

≤

5t2+9

16t2

≤2，即可得出結果．

解答：解：（1）設p（x，y）
由

y

x+3

•

y

x-3

=m，得y²=m（x²-9），
若m=-1，則方程為x²+y²=9，軌跡為圓（除A B點）；
若-1＜m＜0，方程為

x2

9

+

y2

-9m

=1，軌跡為橢圓（除A B點）；
若m＞0，方程為

x2

9

-

y2

-9m

=1，軌跡為雙曲線（除A B點）．
（2）m=-

5

9

時，曲線C方程為

x2

9

+

y2

5

=1，設?₁的方程為：x=ty+2
與曲線C方程聯立得：（5t²+9）y²+20ty-25=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

-20t

5t2+9

①，y1y2=

-25

5t2+9

②，
可得R(

18

5t2+9

，

-10t

5t2+9

)，k1k2=

1

t

•(-

5t

9

)=-

5

9

．
（3）由

BQ

=λ

QA

得y₂=-λy₁代入①②得：(1-λ)y1=

-20t

5t2+9

③，λ

y

2 1

=

25

5t2+9

④，
③式平方除以④式得：

1

λ

-2+λ=

16t2

5t2+9

，
而

1

λ

-2+λ在λ∈[2，3]上單調遞增，

1

2

≤

1

λ

-2+λ≤

4

3

，

3

4

≤

5t2+9

16t2

≤2，?₁在y軸上的截距為b，b2=(-

2

t

)2=

4

t2

∈[

28

9

，12]，b∈[-2

3

，-

2 7

3

]∪[

2 7

3

，2

3

]．

點評：本題考查了軌跡方程、函數值域以及直線與圓錐曲線的綜合問題，對于直線與圓錐曲線一般聯立方程設而不求的方法求解，此題綜合性強，屬于難題．