Question

設F₁，F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F₁斜率為1的直線?與E相交于A，B兩點，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數列．
（1）求E的離心率；
（2）設點P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程

Answer 1

分析：（I）根據橢圓的餓定義可 值|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，進而根據|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數表示出|AB|，進而可知直線l的方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入直線和橢圓方程，聯立消去y，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂進而根據

4

3

a=

4ab2

a2+b2

，求得a和b的關系，進而求得a和c的關系，離心率可得．
（II）設AB的中點為N（x₀，y₀），根據（1）則可分別表示出x₀和y₀，根據|PA|=|PB|，推知直線PN的斜率，根據

y0+1

x0

=-1求得c，進而求得a和b，橢圓的方程可得．

解答：解：（I）由橢圓定義知|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
得|AB|=

4

3

al的方程為y=x+c，其中c=

a2-b2

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A、B兩點坐標滿足方程組

y=x+c x2 a2 + y2 b2 =1

化簡的（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0
則x1+x2=

-2a2c

a2+b2

，x1x2=

a2(c2-b2)

a2+b2

因為直線AB斜率為1，得

4

3

a=

4ab2

a2+b2

，故a²=2b²
所以E的離心率e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

（II）設AB的中點為N（x₀，y₀），由（I）知x0=

x1+x2

2

=

-a2c

a2+b2

=-

2

3

c，y0=x0+c=

c

3

．
由|PA|=|PB|，得k_PN=-1，
即

y0+1

x0

=-1
得c=3，從而a=3

2

，b=3
故橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

9

=1．

點評：本題主要考查圓錐曲線中的橢圓性質以及直線與橢圓的位置關系，涉及等差數列知識，考查利用方程思想解決幾何問題的能力及運算能力