Question

（2009•奉賢區一模）已知函數f(x)=

6

x2+1

（1）在直角坐標系中，畫出函數f(x)=

6

x2+1

大致圖象．
（2）關于x的不等式f（x）≥k-7x²的解集一切實數，求實數k的取值范圍；
（3）關于x的不等式f(x)＞

a

x

的解集中的正整數解有3個，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圖象特征大致是過點（0，6）定義域R的偶函數，值域（0，6]，在（0，+∞）單調遞減區間，然后畫圖大致圖象即可；
（2）解法一：依題意，將k分離出來，然后利用函數的單調性研究不等式另一側函數的最小值，從而求出k的范圍；
解法二：7x⁴+（7-k）x²+6-k≥0對一切實數恒成立，設x²=t≥0，可轉化成函數h（t）=7t²+（7-k）t+6-k（t≥0）的最小值大于等于0恒成立，建立關系式，解之即可；
（3）方法一：依題意有a＞0，所對應方程有兩個同號的正根，然后根據韋達定理可知必有一個小的根x₁∈（0，1）則x₂∈（3，4]，利用求根公式建立關系式，解之即可；
方法二：依題意有a＞0，不等式

1

a

＞

1

6

(x+

1

x

)的解集（x₁，x₂），根據函數y=x+

1

x

(x＞0)的性質知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，然后建立關系式，解之即可；
方法三：依題意有a＞0，不等式a＜

6x

x2+1

的解集（x₁，x₂），根據函數y=

6x

x2+1

(x＞0)的性質知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，然后建立關系式，解之即可；
方法四：數形結合，依題意有a＞0，畫出符合題意的大致圖形，交點的橫坐標是方程x2-

6

a

x+6=0的解，然后建立關系式，解之即可．

解答：（理）
解：（1）圖象特征大致如下，過點（0，6）定義域R的偶函數，
值域（0，6]，在（0，+∞）單調遞減區間
（2）解法一：依題意，變形為k≤

6

x2+1

+7x2對一切實數x∈R恒成立（1分）k≤

6

x2+1

+7(x2+1)-7，設h(x)=

6

x2+1

+7(x2+1)-7，k≤h（x）_min（1分）
h(x)=

6

x2+1

+7(x2+1)-7在[0，+∞）單調遞減（可用函數單調性定義證明或復合函數的單調性說明）（4分
h（x）_min=h（0）=6∴k≤6（1分）
解法二：6≥（k-7x²）（x²+1），7x⁴+（7-k）x²+6-k≥0對一切實數恒成立（1分）
設x²=t≥0，h（t）=7t²+（7-k）t+6-k（t≥0）的最小值大于等于0恒成立（1分）；

- 7-k 14 ≤0 f(0)=6-k≥0

∴k≤6（2分）

- 7-k 14 ≥0 f(0)=6-k- (7-k)2 28 ≥0

∴k∈Φ（2分）∴k≤6（1分）
（3）方法一：依題意有a＞0（1分）
不等式變形為ax2-6x+a＜0，x2-

6

a

x+1＜0當△=

36

a2

-4≤0時不合題意，舍去                 （1分）△＞0時a²＜9，∴0＜a＜3（1分）
方程x2-

6

a

x+1=0的有兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）∵x1x2=1，x1+x2=

6

a

＞2，方程有兩個同號的正根，且必有一個小的根x₁∈（0，1）∴x₂∈（3，4]，（2分）∴3＜

6+ 36-4a2

2a

≤4，（1分）
解得不等式

24

17

≤a＜

9

5

（1分）
方法二：依題意有a＞0，（1分）
不等式

1

a

＞

1

6

(x+

1

x

)的解集（x₁，x₂），（1分）
根據函數y=x+

1

x

(x＞0)的性質知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，（2分）
∴

1

6

(3+

1

3

)＜

1

a

≤

1

6

(4+

1

4

)（1分）
所以

24

17

≤a＜

9

5

（2分）
方法三：依題意有a＞0，（1分）
不等式a＜

6x

x2+1

的解集（x₁，x₂），（1分）
根據函數y=

6x

x2+1

(x＞0)的性質知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，（2分）

a≥ 24 4^+1 a＜ 18 9+1

（1分）
所以

24

17

≤a＜

9

5

（2分）
方法四數形結合
依題意有a＞0，（1分）
畫出符合題意的大致圖形
交點的橫坐標是方程x2-

6

a

x+6=0的解（2分）x2=4=

6+ 36-4a2

2a

=4，a=

24

17

x2=4=

6+ 36-4a2

2a

=3，a=

9

5

（2分）
所以

24

17

≤a＜

9

5

（2分）

點評：本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及不等式恒成立問題，同時考查了數形結合，利用函數單調性求函數的最值等有關問題，屬于中檔題．