Question

已知且，函數(shù)，，記
（1）求函數(shù)的定義域及其零點(diǎn)；
（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1），0；（2）

解析試題分析：（1）均有意義時(shí)，才有意義，即兩個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)均大于0.解關(guān)于x的不等式即可得出的定義域，函數(shù)的零點(diǎn)，即，整理得，對(duì)數(shù)相等時(shí)底數(shù)相同所以真數(shù)相等，得到，基礎(chǔ)x即為函數(shù)的零點(diǎn)（2）即，，應(yīng)分和兩種情況討論的單調(diào)性在求其值域。有分析可知在這兩種情況下均為單調(diào)函數(shù)，所以的值域即為。解關(guān)于m的不等式即可求得m。所以本問(wèn)的重點(diǎn)就是討論單調(diào)性求其值域。
試題解析：（1）解：（1）（且）
，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c1/6/rhsx81.png" style="vertical-align:middle;" />                               2分
令，則（*）方程變?yōu)?br />，，即
解得，                                    3分
經(jīng)檢驗(yàn)是（*）的增根，所以方程（*）的解為，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為，                              4分
（2）∵函數(shù)在定義域D上是增函數(shù)
∴①當(dāng)時(shí)， 在定義域D上是增函數(shù)
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域D上是減函數(shù)    6分
問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，
∴①當(dāng)時(shí)，由（2）知，函數(shù)F（x）在上是增函數(shù)
∴∴只需  解得：或
∴②當(dāng)時(shí)，由（2）知，函數(shù)F（x）在上是減函數(shù)
∴ ∴只需   解得：  10分
綜上所述，當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)，或（12分）
考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的零點(diǎn)，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性