Question

如圖，已知正三棱錐A―BCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點，EF⊥DE，且BC=2．

(1)求此正三棱錐的高；

(2)求二面角E―FD―B的大小．

Answer 1

解法一：(1)由正三棱錐的性質知AC⊥BD．

EF//AC,

∴EF⊥BD．又EF⊥ED．故EF⊥平面ABD，即

AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD．

又∵A―BCD為正三棱錐，

∴AB⊥AD，

從而AB=AC=AD=?BC=．

  設△BCD中心為O，則棱錐高為

  AO=．

  (2)過E作EH⊥BO于H，則EH∥AO，即EH⊥平面BCD．

又過H作HG⊥DF于G，連EG，則EG⊥DF，

故∠HGE為二面角E一FD一B的平面角．

  ∵EH=AO=，HG=BF=，

  ∴tan∠EGH==×2=，

  ∠EGH=arctan

  解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B、C、D的坐標為B(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，

若設棱錐高為h，又A在平面BCD上的射影為ABCD的中心，

則A的坐標為(，1，h)．

∵E、F為AB、BC的中點，

∴E(，，h)，F(，，0)．

∵EF⊥DE，∴，

   即(，0，一)?(，一，一)=0

   ∴，．

  (2)設m=(，，z)為平面DEF的法向量，則

  ．即

  令z=1，則

  又平面BCD的法向量n=(0,0,1)，由m,n的方向知，當二面角E―FD―B設為時，

  cos=，