Question

已知橢圓過點，且離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），橢圓的右頂點為，且滿足，試判斷直線是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

 

Answer 1

(1) ；（2）.

【解析】

試題分析：(1)本小題通過待定系數法列出兩個關于的方程，通過解方程組求出橢圓的方程，包含著二次方的運算需掌握；(2)本小題是直線與橢圓的位置關系的問題，這類題目的常用思路就是聯立直線方程和橢圓方程通過消元得到一個一元二次方程，確定判別式的情況，正確書寫、利用韋達定理，由，兩點(不是左右頂點)，橢圓的右頂點為，且滿足，根據向量的數量積為零，可得到關于兩個根的等式，再利用韋達定理可得關于的等式，從而就可得出相應的結論.

試題解析：（1）

即

∴橢圓方程為 4分

又點在橢圓上，解得

∴橢圓的方程為 6分

(2)設，由得

，

8分

所以，又橢圓的右頂點

，

，解得 10分

，且滿足

當時，，直線過定點與已知矛盾 12分

當時，，直線過定點

綜上可知，當時，直線過定點，定點坐標為 14分.

考點：1.直線與橢圓的位置關系；2.韋達定理；3.平面向量的數量積；4.過定點的問題；5.直線與橢圓的綜合問題.