Question

 (本小題滿分14分)

已知橢圓的中心是坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為，過點M（0，）與x軸不垂直的直線交橢圓于P、Q兩點.

(1)求橢圓的方程；

(2)在y軸上是否存在定點N，使以PQ為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出N的坐標，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)先假設存在，聯立方程組，利用·可以求出存在

N(0,1)滿足要求

【解析】

試題分析：(1)因為離心率為，又，∴a=，c=1,

故b=1，故橢圓的方程為.                                     ……4分

(2)由題意設直線的方程為y=kx－,

聯立方程得(2k²+1)x²－kx－=0，

設P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，

則x₁+x₂=，x_1·x₂=，                                   ……8分

假設在y軸上存在定點N（0，m）滿足題設，則

 ，，

·= x₁x₂+(y₁－m)(y₂－m)= x₁x₂+ y₁y₂－m(y₁+y₂) +m²

= x₁x₂+(kx₁－)( kx₂－)－m(kx₁－+ kx₂－) +m²

=(k²+1) x₁x₂－k(+m)(x₁+x₂)+m²+m+

=－k(+m)+m²+m+

=，                                         ……12分

由假設得對于任意的k∈R，·=0恒成立，

即解得m=1，

因此，在y軸上存在定點N，

使得以PQ為直徑的圓恒過這個點，點N的坐標為(0,1).                      ……14分

考點：本小題主要考查橢圓的標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系的判定和應用、韋達定理和向量數量積的運算和應用，考查學生的運算求解能力和數形結合思想的應用.

點評：對于探究性問題，一般是先假設存在，然后計算，如果能求出，則說明存在，如果求不出或得出矛盾，則說明不存在.