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已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=3，M，N分別是棱BB1，BC上的點，且BM=2，BN=1，建立如圖所示的空間直角坐標系．求：
（1）異面直線DM與AN所成角的余弦值；
（2）直線DM與平面AMN所成角的正弦值．
分析：（1）確定
DM
=(-2，4，2)，
AN
=(1，4，0)，利用向量的夾角公式，即可求異面直線DM與AN所成角的余弦值；
（2）求出平面AMN的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線DM與平面AMN所成角的正弦值．
解答：解：由題意知，D（2，0，0），B（0，4，0），A1（0，0，3），M（0，4，2），N（1，4，0），
（1）
DM
=(-2，4，2)，
AN
=(1，4，0)，
∴cos?
DM
，
AN
＞=
DM
•
AN
|
DM
||
AN
|
=
-2×1+4×4+2×0
2
6
×
17
=
7
102
102
，…（5分）
∴異面直線DM與AN所成角的余弦值為
7
102
102
．       …（7分）
（2）
AM
=(0，4，2)，
AN
=(1，4，0)，
設平面AMN的法向量為
m
=（x，y，z），
則
m
•
AM
=0
m
•
AN
=0
，即
4y+2z=0
x+4y=0
，解得
x=-4y
z=-2y
，
不妨取x=4，則y=-1，z=2，故平面AMN的一個法向量為
m
=（4，-1，2），（10分）
則cos＜
DM
，
m
＞=
DM
•
m
|
DM
||
m
|
=
-2×4+4×(-1)+2×2
2
6
×
21
=-
2
14
21
，…（12分）
根據(jù)圖形可知，直線DM與平面AMN所成角的正弦值為
2
14
21
． …（14分）
點評：本題考查向量知識的運用，考查空間角，考查學生的計算能力，正確運用向量的夾角公式是關鍵．
練習冊系列答案
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（Ⅱ）在棱AB上是否存在點E使得AD1與平面D1EC成的角為
π6
？若存在，求出AE的長，若不存在，說明理由．

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A ．     B．      C．     D．

 

 

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