Question

已知實數x,y滿足+y²=1，（1）求U=x²+y²-2y的取值范圍；（2）求V=取值范圍；（3）將點M(x,y)到直線l:x+2y=4的距離記為d，求d的取值范圍.

Answer 1

思路解析：滿足題設條件的點（x,y）的軌跡是橢圓，因此可利用參數方程將x,y表示為三角函數，把問題轉化為三角問題求解.

解：∵+y²=1,∴設(0≤θ＜2π)

（1）U=x²+y²-2y=4cos²θ+sin²θ-2sinθ=-3sin²θ-2sinθ+4=-3(sinθ+)²,∵-1≤sinθ≤1,∴當sinθ=1時,即x=0,y=1時，有U_min=-1;

當sinθ=-時，即x=±,y=-時有U_max=,故U的范圍是［-1,］.

（2）∵V==,∴sinθ-2Vcosθ=2-3V.

∴sin(θ+φ)=2-3V.

∴|sin(θ+φ)|≤1.

∴1+4V²≥(2-3V)³,

即5V²-12V+3≤0.

∴≤V≤.

（3）d==|sinθ+cosθ-2|=.

∴當sin(θ+)=1時,即x=,y=時，

有d_min=|-2|=;

當sin(θ+)=-1時,即x=-,y=-時，

有d_max=|--2|=.

∴d的取值范圍是［，］.