Question

已知角α是第三象限角，且f(α)=

sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α-π)

tan(π+α)sin(-π-α)

（1）化簡f（α）；
（2）若cos(α-

3π

2

)=

1

5

，求f（α）的值；
（3）若cos(α+

π

4

)=

3

5

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導公式對函數解析式化簡整理求得f（α）=-cosα．
（2）利用誘導公式求得sinα的值，進而利用同角三角函數的基本關系和α的范圍，求得cosα的值，代入函數解析式中求得答案．
（3）根據α的范圍確定α+

π

4

的范圍，進而利用同角三角函數的基本關系求得sin（α+

π

4

）的值，進而根據cosα=cos[(α+

π

4

)-

π

4

]利用余弦的兩角和公式求得cosα的值，代入函數解析式，求得答案．

解答：解：（1）f(α)=

sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α-π)

tan(π+α)sin(-π-α)

=-

sinαcosαtanα

tanαsinα

=-cosα
（2）∵cos(α-

3π

2

)=

1

5

∴sinα=-

1

5

又∵α是第三象限角
∴cosα=-

2 6

5

∴f（α）=-cosα=

2 6

5

（3）∵α是第三象限角
∴2kπ+

5

4

π＜α＜2kπ+

7

4

π，k∈z
又∵cos(α+

π

4

)=

3

5

∴sin(α+

π

4

)=-

4

5

∴cosα=cos[(α+

π

4

)-

π

4

]=cos(α+

π

4

)cos

π

4

+sin(α+

π

4

)sin

π

4

=-

2

10

∴f（α）=-cosα=

2

10

點評：本題主要考查了同角三角函數的基本關系的應用，誘導公式的化簡求值．解題的過程中注意角的范圍，進而正確判斷出三角函數正負值．