Question

（2009•黃浦區二模）設α∈(0，

π

2

)，則

3+2sinαcosα

sinα+cosα

的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：由已知中α∈(0，

π

2

)，我們根據正弦型函數的性質，可以求出sinα+cosα的范圍，根據同角三角函數的關系，我們可將

3+2sinαcosα

sinα+cosα

化為

2

sinα+cosα

+(sinα+cosα)，再根據基本不等式即可得到答案．

解答：解：∵α∈(0，

π

2

)
∴sinα+cosα∈（1，

2

]

3+2sinαcosα

sinα+cosα

=

2+(sinα+cosα) 2

sinα+cosα

=

2

sinα+cosα

+(sinα+cosα)≥2

2

當sinα+cosα=

2

時，

3+2sinαcosα

sinα+cosα

取最小值2

2

故答案為：2

2

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，輔助角公式，正弦型函數的圖象和性質，基本不等式，其中根據同角三角函數的關系，將

3+2sinαcosα

sinα+cosα

化為

2

sinα+cosα

+(sinα+cosα)，為使用基本不等式創造條件，是解答本題的關鍵．