Question

（本小題滿分12分）
已知函數 （是自然對數的底數，）.
（1）當時，求的單調區間；
（2）若在區間上是增函數，求實數的取值范圍；
（3）證明對一切恒成立.

Answer 1

（1）在區間上單調遞增，在區間上單調遞減。
（2）；（3）．

本試題主要是考查了導數在研究函數中的 運用。利用導數的符號判定函數單調性和利用單調性逆向求解參數的范圍，和不等式的證明。
（1）首先求解定義域和導數，然后令導數大于零，小于零得到單調區間。
（2）因為在區間上是增函數，則說明函數在給定區間的導函數恒大于等于零，利用分離參數的思想求解參數的取值范圍。
（3）利用第一問中函數的結論，令得，，那么所以在上為減函數，可得對于任意，都有，故有
，放縮法證明不等式。
解：（1）當時，，

由，……………………………………………..4分
所以，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減。
（2），
由題意得當時，恒成立。
令，有，得，
所以的范圍是…………………………………………8分
（3）令得，，
所以在上為減函數，對于任意，都有，故有
即
即．                          ………12分