Question

（本題滿分12分）給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準圓”方程.

（Ⅱ）點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線使得與橢圓都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點，求證：為定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）根據斜率情況進行分類討論，分別證明知直線垂直，從而=4

【解析】解：（Ⅰ），橢圓方程為……2分

準圓方程為。                                   …………3分

（Ⅱ）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為，當方程為時，此時與準圓交于點，

此時經過點（或）且與橢圓只有一個公共點的直線是（或），

即為（或），顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直.        …………………………6分

②當都有斜率時，設點，其中.

設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

則消去，得.

由化簡整理得：.…………………………8分

因為，所以有.

設的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.                      …………………………10分

綜合①②知：因為經過點，又分別交其準圓于點，且垂直，所以線段為準圓的直徑，所以=4.       ………………………12分