Question

已知
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調減區間；
（3）若函數g（x）=f（x）-m在區間上沒有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數解析式利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后利用兩角和與差得正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值即可求出函數的最小正周期；
（2）根據正弦函數的單調減區間為[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，求出x的范圍即可；
（3）作出函數y=f（x）在[-，]上的圖象，函數g（x）無零點，即方程f（x）-m=0無解，亦即：函數y=f（x）與y=m在x∈[-，]上無交點從圖象可看出f（x）在[-，]上的值域為[0，+1]，利用圖象即可求出m的范圍．
解答：解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（2）由+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z得：+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調減區間為[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（3）作出函數y=f（x）在[-，]上的圖象如下：

函數g（x）無零點，即方程f（x）-m=0無解，
亦即：函數y=f（x）與y=m在x∈[-，]上無交點從圖象可看出f（x）在[-，]上的值域為[0，+1]，
則m＞+1或m＜0．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的單調性，以及正弦函數的圖象與性質，熟練掌握公式是解本題的關鍵．