Question

已知函數(為常數，且)，且數列是首項為4，公差為2的等差數列。
（Ⅰ）求證：數列是等比數列；
（Ⅱ）若，當時，求數列的前n項和。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）數列是等比數列，只需證明等于一個與無關的常數即可，由已知數列是首項為4，公差為2的等差數列，故，即，可求得，代入即可數列是等比數列；（Ⅱ）若，當時，求數列的前項和，首先求出數列的通項公式，由（Ⅰ）可知，故，這是一個等差數列與一個等比數列對應項積所組成的數列，可利用錯位相減法來求和，可求得．
試題解析：（Ⅰ）由題意知f(a_n)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，           (2分)
即log_ka_n＝2n＋2，∴a_n＝k^2n＋2，                         (3分)
∴.                              (5分)
∵常數k＞0且k≠1，∴k²為非零常數，
∴數列{a_n}是以k⁴為首項，k²為公比的等比數列。         (6分)
（Ⅱ）由（1）知，b_n＝a_nf(a_n)＝k^2n＋2·(2n＋2)，
當k＝時，b_n＝(2n＋2)·2^n＋1＝(n＋1)·2^n＋2.           (8分)
∴S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋＋(n＋1)·2^n＋2， ①
2S_n＝2·2⁴＋3·2⁵＋＋n·2^n＋2＋(n＋1)·2^n＋3， ②         (10分)
②－①，得S_n＝―2·2³―2⁴―2⁵――2^n＋2＋(n＋1)·2^n＋3   
＝―2³―(2³＋2⁴＋2⁵＋＋2^n＋2)＋(n＋1)·2^n＋3,
∴S_n＝―2³―＋(n＋1)·2^n＋3＝n·2^n＋3.       (12分)