Question

如圖，曲線由上半橢圓和部分拋物線連接而成，的公共點為，其中的離心率為.

（1）求的值；
（2）過點的直線與分別交于（均異于點），若，求直線的方程.

Answer 1

（1），；(2)

試題分析：（1）由上半橢圓和部分拋物公共點為，得，設的半焦距為，由及，解得；
（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，，易知，直線與軸不重合也不垂直，故可設其方程為，并代入的方程中，整理得：，
由韋達定理得，又，得，從而求得，繼而得點的坐標為，同理，由得點的坐標為，最后由,解得，經檢驗符合題意，故直線的方程為.
試題解析：（1）在方程中，令，得
在方程中，令，得
所以
設的半焦距為，由及，解得
所以，
（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，
易知，直線與軸不重合也不垂直，設其方程為
代入的方程中，整理得：
  （*）
設點的坐標
由韋達定理得
又，得，從而求得
所以點的坐標為
同理，由得點的坐標為
，

,即
，，解得
經檢驗，符合題意，
故直線的方程為